複素関数の絶対値の微分

数学

精密化では、構造因子を原子座標について偏微分したりすることがある。

\begin{eqnarray}\frac{\partial |\mathbf{F(x)}|}{\partial x_i} &=& \frac{\partial \sqrt{\mathbf{F(x)F^*(x)}}}{\partial x_i} \\ &=& \frac{1}{2\sqrt{\mathbf{F(x)^*F(x)}}}\frac{\partial \mathbf{F(x)F^*(x)}}{\partial x_i} \\&=& \frac{1}{2|\mathbf{F(x)}|}\frac{\partial \mathbf{F(x)F^*(x)}}{\partial x_i} \\&=& \frac{1}{2|\mathbf{F(x)}|}(\frac{\partial \mathbf{F(x)}}{\partial x_i}\mathbf{F^*(x)} + \frac{\partial \mathbf{F^*(x)}}{\partial x_i}\mathbf{F(x)}) \end{eqnarray}