Gaussian product rule - biochem

さきほど、正規分布する確率変数の和の分布について考察した。再生性により、正規分布の和も正規分布になるのであった。

ガウス型の指数関数 $f(\mathbf{x}) = e^{-\alpha |\mathbf{x} - \mathbf{A}|^2}$ については、他にも便利な性質がある。それが Gaussian product rule として知られるものであり、量子化学計算で役に立っている。ここで、 $\mathbf{x}, \mathbf{A}$ はベクトルである。中心点 A からの距離の二乗に従って指数的に減衰するような関数である。

量子化学計算では、電子の波動関数を原子を中心とした上記のガウス型軌道(Gaussian-Type Orbital: GTO)に展開して表現することがある。二電子積分は2つの波動関数の積を取るので、 $e^{-\alpha |\mathbf{x} - \mathbf{A}|^2} e^{-\beta |\mathbf{x} - \mathbf{B}|^2}$ という積の計算が頻出することになる。幸いなことに、この積は、 $X \cdot e^{-\beta |\mathbf{x} - \mathbf{C}|^2}$ という、別の点を中心とするガウス型関数の定数倍になる。

それを確認してみよう。指数を平方完成しなおせばよい。

$\begin{eqnarray}e^{-\alpha |\mathbf{x} - \mathbf{A}|^2} e^{-\beta |\mathbf{x} - \mathbf{B}|^2} &=& e^{-\alpha (|\mathbf{x}|^2 - 2x\cdot\mathbf{A} + |\mathbf{A}|^2) - \beta (|\mathbf{x}|^2 - 2x\cdot\mathbf{B} + |\mathbf{B}|^2)} \\ &=&e^{-(\alpha + \beta) |\mathbf{x}|^2 + 2x\cdot(\alpha\mathbf{A} + \beta\mathbf{B}) - (\alpha|\mathbf{A}|^2 + \beta|\mathbf{B}|^2)}\\ &=& e^{-(\alpha + \beta) (\mathbf{x} - \frac{\alpha\mathbf{A} + \beta\mathbf{B}}{\alpha + \beta})^2 - (\alpha|\mathbf{A}|^2 + \beta|\mathbf{B}|^2) + \frac{|\alpha\mathbf{A} + \beta\mathbf{B}|^2}{\alpha + \beta}}\\&=& e^{-(\alpha + \beta) (\mathbf{x} - \frac{\alpha\mathbf{A} + \beta\mathbf{B}}{\alpha + \beta})^2 -\frac{\alpha\beta(|\mathbf{A}|^2 + |\mathbf{B}|^2 - 2\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})}{\alpha + \beta}} \\ &=& e^{-(\alpha + \beta) (\mathbf{x} - \frac{\alpha\mathbf{A} + \beta\mathbf{B}}{\alpha + \beta})^2} e^{-\frac{\alpha\beta|\mathbf{A} - \mathbf{B}|^2}{\alpha + \beta}} \end{eqnarray}$

で証明終わり。