行列の成分の書き出し

当たり前のことしか書いていないが、下書きに眠っていたので公開しておく。

行列の計算で、成分を顕わに書き出したいときがある。

まず
(\mathbf{X} \mathbf{Y})_{st} = \sum_{i} X_{si} Y_{it}
が鉄則。

行列が 3 つ以上並んだときも、隣り合う添字同士がペアになり、あぶれた両端の添字が外に出てくる。
(\mathbf{X} \mathbf{Y} \mathbf{Z})_{st} = \sum_{i} \sum_{j} X_{si} Y_{ij} Z_{jt}

転置があるときは、そこだけ添字が逆転する。
(\mathbf{X} \mathbf{Y}^T \mathbf{Z})_{st} = \sum_{i} \sum_{j} X_{si} Y^T_{ij} Z_{jt} = \sum_{i} \sum_{j} X_{si} Y_{ji} Z_{jt}

ここでは、和に関わる変数を i, j, k, ... とし、そうでないものを s, t, u, ... とした。

\mathbf{v}^T\mathbf{X}^T\mathbf{X}\mathbf{v} のような一見ぎょっとするやつが来たときも、まずは型があっているかを確認しよう。
(n, 1) ^T \times (m, n)^T \times (n, m) \times (1, n) = (1, n) \times (n, m) \times (m, n) \times (n, 1) = (1, 1) で辻褄があっている。

次に、この成分を展開してみる。縦ベクトルは (n, 1) 行列、その転置である横ベクトルは (1, n) 行列だと思って考える。

\mathbf{v}^T\mathbf{X}^T\mathbf{X}\mathbf{v} = \sum_i \sum_j \sum_k v_i X_{ji} X_{jk} v_k
となる。