回転行列の trace - biochem

昨日、tr(AB) = tr(BA) - biochem_fan's note で回転行列 M の trace が $tr(M) = 2\cos\theta + 1$ となることに触れたが、すごく直感的な説明を思いついたのでメモ。

三次元空間のどんな回転も、回転軸と回転角で表現できる。その回転軸が z 方向になるように基底を取り直すと、回転行列は

$M' = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

という形になり、

$tr(M) = tr(M') = \cos\theta + \cos\theta + 1 = 2\cos\theta + 1$

となることは明らか。