φ の回折パラメータによる偏微分

Kabsch, Wolfgang. "Integration, scaling, space-group assignment and post-refinement" Acta Crystallographica Section D 66.2 (2010): 133-144 の 2.8 節において、反射の生じる回転角  \varphi の、回折パラメータ  s_\mu による偏微分

 \frac{\partial \varphi_i}{\partial s_\mu} = \cos \varphi_i \frac{\partial \sin \varphi_i}{\partial s_\mu} -  \sin \varphi_i \frac{\partial \cos \varphi_i}{\partial s_\mu}

と表現されている。この見慣れない変形は何なのか説明する。

まず、右辺を合成関数の微分で展開すると、

 \begin{eqnarray} \cos \varphi_i \frac{\partial \sin \varphi_i}{\partial s_\mu} -  \sin \varphi_i \frac{\partial \cos \varphi_i}{\partial s_\mu} &=& \cos \varphi_i \cos \varphi_i \frac{\partial \varphi_i}{\partial s_\mu} -  \sin \varphi_i (- \sin \varphi_i) \frac{\partial \varphi_i}{\partial s_\mu}\\ &=& (\cos^2 \varphi_i + \sin^2 \varphi_i) \frac{\partial \varphi_i}{\partial s_\mu}\\ &=& \frac{\partial \varphi_i}{\partial s_\mu} \end{eqnarray}

となって左辺と一致する。つまり、これは単なる恒等式で、回折現象とは関係ない。

では、なぜ、三角関数を使って表現する必要があったのかというと、 \varphi_i をあらわに求めるのが困難である一方、その三角関数はベクトル形式で簡単に表現できるからである。具体的には、2.2 節から引用すると、

 \sin \varphi = \frac{(\mathbf{p^*}\cdot\mathbf{m_1})(\mathbf{p^*_0}\cdot\mathbf{m_1}) + (\mathbf{p^*}\cdot\mathbf{m_3})(\mathbf{p^*_0}\cdot\mathbf{m_3})}{\rho^2}
 \cos \varphi = \frac{(\mathbf{p^*}\cdot\mathbf{m_1})(\mathbf{p^*_0}\cdot\mathbf{m_3}) - (\mathbf{p^*}\cdot\mathbf{m_3})(\mathbf{p^*_0}\cdot\mathbf{m_1})}{\rho^2}

である。この式は、nXDS 論文で Ewald sphere offset の議論につながっていくので、今度説明する。