Harker section

Patterson 図における Harker section とは、空間群の対称操作によって関連付けられる原子同士の差ベクトル (self vector) が出現する平面である。

例えば空間群 P2 では、

演算子 実空間 元の点との差ベクトル
I (恒等操作) (x, y, z) (0, 0, 0)
2 (b 軸に一致した2回軸) (-x, y, -z) (2x, 0, 2z)

となり、差ベクトルは y = 0 の断面に出現することが分かる。これを Harker section という。

底心センタリングを加えて C2 にすると、

演算子 実空間 元の点との差ベクトル
I (恒等操作) (x, y, z) (0, 0, 0)
2 (b 軸に一致した2回軸) (-x, y, -z) (2x, 0, 2z)
I+C (センタリング) (x + 1/2, y + 1/2, z) (-1/2, -1/2, 0)
2+C=2_1 (2回軸+センタリング=2_1軸) (-x + 1/2, y + 1/2, -z) (2x - 1/2, -1/2, 2z)

となるから、y = -1/2、あるいは1格子分シフトした y = 1/2 も Harker section である。

ちなみに、上の表で (-x, y, -z) と (x + 1/2, y + 1/2, z) の差を考えてみると (2x + 1/2, 1/2, 2z) となるから、格子をシフトして (2x - 1/2, -1/2, 2z) と一致する。空間群によって対応付けられる点(equivalent position)は周りの環境が等価なので、対称操作後のある1点とその他の点のペアで差ベクトルを考えても、元の点 (x, y, z)とその他の点のペアで差を考えても同じ事である。つまり、空間群にN個の元(equivalent position)があるとすると、どれか1つを固定して、それと残りのN-1個のペアを考えれば十分である。非対称単位のなかに M個の異なる原子があった場合、クロスベクトルが N(N-1) 個存在するという話と混同しないこと。

――と言葉では説明できるのだが、代数的に証明しようとするとうまく行かない。対称操作を  S_1, S_2としてベクトル\mathbf{r}に作用させるとして、差ベクトルは

 S_1\mathbf{r} - S_2\mathbf{r} = (S_1 - S_2 + I) \mathbf{r} - \mathbf{r}

である。 S_1 - S_2 + I が元の空間群の元であることを言えば証明終わりなのだが、ここでの「+」や「-」は、空間群としての演算(=対称操作を重ねがけする。積)ではないため、「群が演算で閉じているから」という論法が使えそうにない。ご意見求む。