ガウス関数のフーリエ変換 - biochem

ガウス関数シリーズの続きとして。ガウス関数のフーリエ変換もまたフーリエ変換となる。

定法通りに平方完成して進めると、

$F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} e^{-i\omega x} dx = \int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-\frac{i\omega}{2a})^2-\frac{\omega^2}{4a}}dx = e^{-\frac{\omega^2}{4a}}\int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-\frac{i\omega}{2a})^2dx$

となる。既に周波数領域のガウス関数が見えている。後は積分部分が定数になればよい。

この積分は、複素積分に経路拡張して考える。(-R, 0)→(R, 0)→(R, $\frac{i\omega}{2a}$ )→(-R, $\frac{i\omega}{2a}$ )→(-R, 0) という経路を考えると、目的の積分は上辺に対応する(ただし逆向き)。内部に特異点を含まないので積分は留数定理により0。左右の垂直部分は、R→∞の極限で0。したがって水平部分が残るが、下辺は実軸上の普通のガウス積分なので $\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ 。上辺と下辺を足して0で、向きが逆なので、目的の積分も $\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ である。
よって、

$F(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}$

となる。

原子の電子密度を球対称なものとして扱い、動径方向の変化をガウス関数の和で表すことがある。この時、原子散乱因子 (atomic scattering factor) は上の式を使って簡単に計算できる。

なお、上の複素積分は maxima でも実行できる。

(%i9) integrate(%e ^ (-a * x^2 - %i * o * x), x, minf, inf);
Is  a  positive, negative, or zero?
positive;
Is  o  positive, negative, or zero?
negative;
                                              2
                                             o
                                           - ---
                                             4 a
                               sqrt(%pi) %e
(%o9)                          -----------------
                                    sqrt(a)

a と o の正負を聞いてくる。a は正じゃないと収束しない。o は正・負、どちらの場合もありうるが、答えは同じ。