これはメモ。たぶん間違っているっていうか、言葉になってない:
多様体上の計量テンソル? - biochem_fan's note の続き。昨日の勉強会で得たイメージ。
多様体は局所座標の貼りあわせ。局所座標系自体は、基底を取り直して正規直交系にできる。だが、待てよ、正規直交と言ってるってことは、この時点で計量を入れちゃった??
だが、すぐ隣に移動した地点で、そこでも直交になっているとは限らない。なってるなら、それはある意味「平坦」な空間。
＃いかん、うまく表現できない。数式を持ってくることはできるけれど、ここにメモしたいのは定義・定理じゃなくて、「ぶっちゃけこういうことかな?」というイメージなんだけど……
接続は、平行移動を定義する。単純に基底をずらした場合からの補正項。好きなように決めていいけど、「直交してたものが直交するように」という制約をかけると、計量から一意に決まって、それが Riemann 接続。より一般的な接続におけるα=0の場合。情報幾何では、α=+1, -1 の場合も考える。
計量は空間が平坦だと、シンプルな形になる。3階のテンソルだけど、平坦だと 2階 (たんなる基底変換の行列) になるのかな?
α = +1 の接続で平坦になるのは指数分布族。exponential の 頭文字を取って、e-接続。α = -1 の接続で平坦になるのは、混合分布族。mixture の頭文字で m-接続。実際には、双対性があって、α=1 で平坦なら -1 でも平坦。
