多様体上の計量テンソル?

全然分かっていないので、どこで混乱してるかメモ:

多様体は、局所座標系の貼りあわせということは分かった。で、局所座標系の基底を として、その内積を決めてあげる。それが計量テンソル。

ってのはいいんだけど、基底を変換すれば正規直交系にできるよね? じゃ、計量テンソルは何を表すの? 基底を決めればそれに応じた表現が得られるけど、そういう個々の具体的表現ではない、「実体」みたいなものを指してる???